lunes, 10 de marzo de 2014

el metodo de cambio de variable





El Método de Cambio de Variable.



Antes de ver la fórmula de cambio de variable, resolveremos algunos ejercicios sencillos

que nos llevarán de manera natural a la mencionada fórmula.

Tomemos la primera fórmula de la tabla de integrales del capítulo anterior:

1

1

1


+ ≠ −+

=

+


∫ α



α


α


xα dx x k si


a partir de ésta podemos encontrar integrales como

∫ x dx = x + k 5



5


4 , x dx x + k = x + k = x + k


+

=

+


∫ 3



2

1 3

2

1


3

2

2

1 3

2

1

, etc.

Sin embargo, si la variable no aparece de manera sencilla en la función a integrar,

¿podemos afirmar que

∫ x − dx = x − + k 5


(3 5) (3 5)

5


4 ?


La respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando

4

5


3(3 5)

5

) 5 3 ( − = 




 

x



x

dx

d


lo correcto sería

∫ x − dx = x − + k 5


3(3 5) (3 5)

5

4


o bien

k x dx x + 






∫ − =  −5


(3 5)

3

(3 5) 1

5

4


Análogamente ¿podemos afirmar que ∫ x dx = x + k 5


(cos ) (cos )

5


4 ?


De nuevo la respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando

4

5


(cos )

5

(cos x) senx x



dx


d − = 







lo correcto sería

∫senx x dx = − x + k 5


(cos ) (cos )

5

4


En el cálculo de estas dos integrales

∫ x − dx = x − + k 5


3(3 5) (3 5)

5


4 ∫senx x dx = − x + k 5


(cos ) (cos )

5

4


como una variante de la fórmula

1

1

1


+ ≠ −+

=

+


∫ α



α


α


xα dx x k si


advertimos que si la variable x se reemplaza por una función u(x), para que la integral se

calcule sustituyendo u(x) por x, en el integrando debe aparecer u'(x) multiplicando a u(x)α,


es decir

[ ] [ ] 1


1

( ) '( ) ( )

1


+ ≠ −+

=

+


∫ α



α


α


u x α u x dx u x k si


En general, si partimos de una integral conocida

∫ f (x) dx = g(x) + k

y cambiamos la variable x por la función derivable u(x), tal que u'(x) es continua,

obtenemos LA FORMULA DE CAMBIO DE VARIABLE

∫ f[u(x)]u'(x)dx = g[u(x)]+ k


Podemos comprobar fácilmente su validez, derivando el lado derecho

[g[u(x)] k] g'[u(x)]u'(x) f [u(x)]u'(x)



dx


d + = =


este último paso utilizando el hecho de que g es una primitiva para f.

Si en la fórmula anterior escribimos u = u(x) y u'(x)dx = du, la fórmula de cambio de


variable nos quedaría como:

∫ f (u)du = g(u) + k


En todos los ejemplos que veremos a continuación, trataremos de reducir el grado de

dificultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral

resultante sea más fácil de integrar ó que sea una integral conocida. Para que la fórmula de




cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a

una función u y a u', su derivada.

 



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