El Método de Cambio de Variable.
Antes de ver la fórmula de cambio de variable, resolveremos algunos ejercicios sencillos
que nos llevarán de manera natural a la mencionada fórmula.
Tomemos la primera fórmula de la tabla de integrales del capítulo anterior:
1
1
1
+ ≠ −+
=
+
∫ α
α
α
xα dx x k si
a partir de ésta podemos encontrar integrales como
∫ x dx = x + k 5
5
4 , x dx x + k = x + k = x + k
+
=
+
∫ 3
2
1 3
2
1
3
2
2
1 3
2
1
, etc.
Sin embargo, si la variable no aparece de manera sencilla en la función a integrar,
¿podemos afirmar que
∫ x − dx = x − + k 5
(3 5) (3 5)
5
4 ?
La respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando
4
5
3(3 5)
5
) 5 3 ( − =
x
−
x
dx
d
lo correcto sería
∫ x − dx = x − + k 5
3(3 5) (3 5)
5
4
o bien
k x dx x +
∫ − = −5
(3 5)
3
(3 5) 1
5
4
Análogamente ¿podemos afirmar que ∫ x dx = x + k 5
(cos ) (cos )
5
4 ?
De nuevo la respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando
4
5
(cos )
5
(cos x) senx x
dx
d − =
lo correcto sería
∫senx x dx = − x + k 5
(cos ) (cos )
5
4
En el cálculo de estas dos integrales
∫ x − dx = x − + k 5
3(3 5) (3 5)
5
4 ∫senx x dx = − x + k 5
(cos ) (cos )
5
4
como una variante de la fórmula
1
1
1
+ ≠ −+
=
+
∫ α
α
α
xα dx x k si
advertimos que si la variable x se reemplaza por una función u(x), para que la integral se
calcule sustituyendo u(x) por x, en el integrando debe aparecer u'(x) multiplicando a u(x)α,
es decir
[ ] [ ] 1
1
( ) '( ) ( )
1
+ ≠ −+
=
+
∫ α
α
α
u x α u x dx u x k si
En general, si partimos de una integral conocida
∫ f (x) dx = g(x) + k
y cambiamos la variable x por la función derivable u(x), tal que u'(x) es continua,
obtenemos LA FORMULA DE CAMBIO DE VARIABLE
∫ f[u(x)]u'(x)dx = g[u(x)]+ k
Podemos comprobar fácilmente su validez, derivando el lado derecho
[g[u(x)] k] g'[u(x)]u'(x) f [u(x)]u'(x)
dx
d + = =
este último paso utilizando el hecho de que g es una primitiva para f.
Si en la fórmula anterior escribimos u = u(x) y u'(x)dx = du, la fórmula de cambio de
variable nos quedaría como:
∫ f (u)du = g(u) + k
En todos los ejemplos que veremos a continuación, trataremos de reducir el grado de
dificultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral
resultante sea más fácil de integrar ó que sea una integral conocida. Para que la fórmula de
cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a
una función u y a u', su derivada.
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